漂亮的证明：sin/cos/tan(π的有理数倍)是代数数

exp618 2012.04.29

很多漂亮的证明都不起眼地隐没在成山的数学文献中。比如标题上这个。

先回忆一下什么是代数数：一个数能表示成一个整系数多项式方程的根，那么这个数是代数数，否则叫超越数。比如√3/3是代数数，因为它是f(x) = 3x²-1的根。反之，π是超越数。这个证明很困难，有兴趣的自己搜索。

现在，我们证明：

定理：如果θ是π的有理数倍，那么sin(θ),cos(θ),tan(θ),cot(θ),sec(θ),csc(θ)均为代数数（如果它们存在）。

首先，我们用

来表示θ。这里m和n是互质的整数。

注意到对任意的θ值，

=1.

其实这个时候已经证明了cosθ+i*sinθ是一个复的代数数，就可以直接用一个定理（一个复数是代数数，那么它的实部虚部都是代数数）来解决问题。但是这一点也不精巧。下面有一个更漂亮的证明。

我们已经证明，所以这项的展开式实部为1，虚部为0.然后我们要用一些三角函数的小特性来完成证明。

为了便于理解，我们使用一个例子。但是这个例子使用的技巧可以代入到任何数中去，看的时候要注意这点。好，我们设.

我们不用棣莫弗公式，而是按普通的多项式展开方法处理上式，有

。

然后看实部，得到

有意思的东西出现了。所有的sinθ的次数都是偶数。这是一定的，因为如果k是奇数，i^k就是虚数，那么sin^kθ就会被归到虚部里去。那么看着这些偶数次的sinθ，你有什么想法？对了，就是把它们全部替换成(1-cos²θ)^k/2.于是上式变成

所以cosθ是代数数。

再看虚部。我们知道上边的虚部等于0，也就是

这次我们换个看法：这个式子是齐次式。高中技巧还没忘的话，见到三角齐次式应该干什么？应该化成正切。所以把上式除以cos⁵θ，得到

所以tanθ是代数数。

同样的方法，可以证明任何π的有理倍数的余弦值和正切值都是代数数。sinθ怎么办？注意到sinθ=cos(θ-π/2)，也是代数数。

最后，因为代数数是一个域，所以cot(θ),sec(θ),csc(θ)作为代数数的倒数，也是代数数。

这个证明是在Division By Zero见到的，在此鸣谢。

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