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稠密而不连续的集我们经常碰见，最简单的就是有理数集。但是到底如何直观想象一个稠密不连续集？为了保证“稠密”，我们尽量想象成一条直线，但是因为“不连续”，又不能想象成直线而要求想象成离散的点。于是这图像就在我们的脑内绕得七荤八素。有人说这是根本不可能的，因为Dirichlet函数并不能用手或电脑严格地画出一个区域来。但是，数学要是没了直观，就没趣了。所以这里有一例直观的稠密不连续点集的例子，可以建立一个清晰的图像来。
想象一个R²平面，在每个整数点（横纵坐标均为整数）上都有一个光源，而在其他地方没有。你站在(0,0)点上。你放眼望去，视线为一条射线，若是直线能打到某个光源上，那么你看到的是一个亮点，若是永远打不到任何光源（这是能做到的，比如视线y=πx），那么你看到的是一个黑点。如下图，射线是一条斜率为无理数的视线，它不碰到任何光源。

整体来看，你看到了什么呢？

很简单的是，对于每条视线，只要斜率是有理数，就一定能够看到亮光，而如果斜率是无理数，就一定看不到。对于斜率不存在的视线（x=0），能看到。于是我环顾四周，看到一片亮光的海洋，稠密地分布在整个视域。但是，对于一些特定的角度，又的确是黑色的。这就是一个稠密而不连续的集。

所以，如果你还在和我一样上高中的话，做课间操时就可以看到这种景象了……

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实数是无穷集，所以没有最大的数。但是不断地说10，100，1000，10000是很无聊的行为。在现实中我们遇到的数一般不会超过10^25,比如6.02*10^23 这个高中化学用悲催常数。那么，在数学讨论中，到底在何种程度上能用一个看起来比较简单的式子来表示一个极端大/小的数字呢？

1.是网易干的？

考虑.估计一下它的形态。sin函数内部是一个很大的超越数，并且不是π的有理数倍，所以不是什么很整的数字。由于sin的周期性，所以这个v值可能随便落在[-1,1]中的哪个数。用计算器摁一下，竟然是……0！这怎么可能？这其实是由于你的计算器精度不够。实际上.

为什么看起来这么简单的式子却弄出如此小的一个数？这个数的确不是偶然碰出来的，它和某种j函数有关。 阅读全文»

很多漂亮的证明都不起眼地隐没在成山的数学文献中。比如标题上这个。

先回忆一下什么是代数数：一个数能表示成一个整系数多项式方程的根，那么这个数是代数数，否则叫超越数。比如√3/3是代数数，因为它是f(x) = 3x²-1的根。反之，π是超越数。这个证明很困难，有兴趣的自己搜索。

现在，我们证明：

定理：如果θ是π的有理数倍，那么sin(θ),cos(θ),tan(θ),cot(θ),sec(θ),csc(θ)均为代数数（如果它们存在）。

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这个网页是我最近发现的最无聊网站之一。它的编者把π的前400万位计算出来，依序排在一张图上。像这样：

看起来是不是就像一幅全是噪点的随机图样？你还真说对了，因为π是正规数。

更无聊的是，你可以花65美刀买下这幅画。如果你在美国以外，还要收跨洋邮费。真的会有人这样做吗？

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我研究问题时总喜欢用Mathematica的RandomInteger函数或RamdomReal函数先跑几组数据看看有没有规律，以确定考虑方向。有人总是不屑地对我斜眼：切，伪随机数。这令我很不爽，可是没办法，事实就是如此。哪怕是从原理上来说，计算机，甚至从广义上来说：确定型图灵机，就不可能生成真正的随机数。原因很简单，计算机做任何事情都要依照算法，而算法是可以模拟的。如果某计算机的一切当前状态都被保存，然后生成了一个“随机数”，再彻底地恢复成被保存的状态，重新生成“随机数”，那么这前后两次的数肯定是一样的。从这个意义上来说，这些Random函数根本一点也不随机。

好在，不随机可以模拟随机。现在用的很多的是线性同余法（LCG，Linear Congruential Method）。先选3个数：a,c,M，然后再选一个初值X₀作为“种子”。接下来根据递推式

来一个一个向下算。只要恰当地确定参数和种子，就能生成看上去很随机的数列。

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Google真是世界上最爱玩的公司，总有一些隐蔽的彩蛋。Google工程师每周五就是做这些的吗？

不过，第一个彩蛋可能很多人都知道：

如果你还不知道Recursion是什么意思，赶紧去搜索吧。Google:recursion. 其实就是递归的意思。

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在任何情况下，选一个比给定数更大的数总是可能的。这是否说明必胜呢？

Via MathFail 

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回文素数（Palindromic prime ），是同时是素数和回文数的正整数。这个定义想必我都不需要说，大家一看便知。显然，这个定义依赖于进制。十进制下的前几个回文素数是2, 3, 5, 7, 11, 101, 131, 151, 181, 191, 313, 353, 373, 383, 727, 757, 787, 797, 919, 929, 10301, 10501, 10601, 11311, 11411, 12421, 12721, 12821, 13331, 13831, 13931, 14341, 14741, 15451, 15551, 16061, 16361, 16561, 16661, 17471, 17971, 18181……

注意到什么问题没有？没有四位数，两位数也只有个11。其实仔细想想就会发现，大于11的偶数位的回文素数根本就不应该存在，因为所有的这种回文数都被11整除。什么？你不知道怎么判断对11的整除性？好吧，把待判断的数错位求和再相减。比如918,082就是9 − 1 + 8 − 0 + 8 − 2 = 22，所以918,082能被11整除。什么？不会证明？只需注意10^奇数≡-1 , 10^偶数≡1（mod 11）。

正是因为这一点，回文素数集聚地出现。这点画出图来尤为明显：（Via Mathworld）

就算是这样，我们仍然不知道是否有无穷多的（十进制）回文素数。

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有的数学问题叙述起来很简单，但仍然未解。这可能是因为这个问题太难，也可能是比较冷门。这里有一个图论的问题，是Hadwiger在1945年提出的。在1951年Erdős大神曾经讨论过这个问题，但也没有解决，可见它可能真的很难。总之，这个问题是这样：

Hadwiger–Nelson问题：在平面上为每点填色，最少要多少种颜色，才能使若两点距离为1，其颜色必定不相同呢？

听起来很简单，但想往抽象了叙述也不是做不到。用图论的语言重新叙述是这样：

设G为图，G的顶点是平面上的所有点，两个顶点相邻当且仅当它们在平面上的距离为1，求G的点色数。这个问题等于求任意G的有限子集的最大点色数。

我们已经知道什么呢？已经知道，答案只可能是4，5，6，7之一。当答案的范围如此之小的时候往往尤其令人不爽，一如当初的四/五色猜想。

先证明3种颜色无法完成染色。如图：

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HAPPY WORLD Pi DAY!

今天是著名的世界圆周率日，所有GEEK都应该在3月14日15时9分26秒吃一个MM手制的Pi Pie以示庆祝。没有条件的，也应该在本文下方留言，获得我长达3.14秒的祝福~

在圆周率日，你是否想在生活中发现这个神秘常数呢？有些小办法：

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